Question

19．如圖所示，在所有棱長都為2a的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，D點(diǎn)為棱AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求四棱錐C₁-ADB₁A₁的體積．

Answer 1

分析 （1）要證AC₁∥平面CDB₁，可采用線面平行的判定定理，故可連結(jié)BC₁，得到BC₁與B₁C交點(diǎn)E，則DE是△ABC₁的中位線，由此證得答案；
（2）取線段A₁B₁中點(diǎn)M，連結(jié)C₁M，由已知可證得C₁M是四棱錐C₁-ADB₁A₁的高，再由已知求出平面
ADB₁A₁的面積，代入棱錐的體積公式得答案．

解答 （1）證明：如圖，
連結(jié)BC₁，設(shè)BC₁與B₁C交于點(diǎn)E，
則點(diǎn)E是BC₁的中點(diǎn)，連結(jié)DE，
∵D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC₁的中位線，
∴AC₁∥DE，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（2）取線段A₁B₁中點(diǎn)M，連結(jié)C₁M，
∵C₁A₁=C₁B₁，點(diǎn)M為線段A₁B₁中點(diǎn)，
∴C₁M⊥A₁B₁．
又A₁A⊥平面ABC，
即A₁A⊥平面C₁A₁B₁，C₁M?平面C₁A₁B₁，
∴A₁A⊥C₁M，
∵A₁A∩A₁B₁=A₁，
∴C₁M⊥平面ADB₁A₁，則C₁M是四棱錐C₁-ADB₁A₁的高．
則${V}_{{C}_{1}-AD{B}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{（2a+a）×2a}{2}×\sqrt{3}a=\sqrt{3}{a}^{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．