Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=λS_n+1（n∈N^*，λ≠-1），且a₁、2a₂、a₃+3為等差數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=λS_n+1（n∈N^*，λ≠-1），當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=λS_n-1+1，可得a_n+1=（1+λ）a_n，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a₃，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=λS_n+1（n∈N^*，λ≠-1），∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=λS_n-1+1，
∴a_n+1-a_n=λa_n，即a_n+1=（1+λ）a_n，
又a₁=1，a₂=λa₁+1=λ+1，
∴數(shù)列{a_n}為以1為首項(xiàng)，公比為λ+1的等比數(shù)列，
∴a₃=（λ+1）²，
∵a₁、2a₂、a₃+3為等差數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)．
∴4（λ+1）=1+（λ+1）²+3，
整理得（λ-1）²=0，解得λ=1．
∴a_n=2^n-1，b_n=1+3（n-1）=3n-2．
（2）a_nb_n=（3n-2）•2^n-1，
∴數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n=1+4×2+7×2²+…+（3n-2）•2^n-1，
2T_n=2+4×2²+7×2³+…+（3n-5）×2^n-1+（3n-2）×2ⁿ，
∴-T_n=1+3×2+3×2²+…+3×2^n-1-（3n-2）×2ⁿ=$1+3×\frac{2×（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（3n-2）×2ⁿ=（5-3n）×2ⁿ-5，
∴T_n=（3n-5）×2ⁿ+5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．