Question

【題目】已知數(shù)列的前n項的和Sn，點（n，Sn）在函數(shù)=2x2+4x圖象上：

（1）證明是等差數(shù)列；

（2）若函數(shù)，數(shù)列{bn}滿足bn=，記cn=anbn，求數(shù)列前n項和Tn；

（3）是否存在實數(shù)λ，使得當x≤λ時，f(x)=﹣x2+4x﹣≤0對任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的實數(shù)λ，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 數(shù)列{an}的通項公式為an=4n+2;(2) Tn=10﹣（2n+5） ;(3) 實數(shù)λ=1,見解析.

【解析】試題分析：（1）要求數(shù)列的通項公式，利用，然后把 代入驗證；
（2）由函數(shù) ，數(shù)列滿足 ，利用錯位相減法可得數(shù)列{ 前 項和
（3）假設存在實數(shù) ，使得當 時，

對任意 恒成立，即對任意恒成立，由

是遞增數(shù)列，能推導出存在最大的實數(shù) ，使得當 時， 對任意恒成立

試題解析;（1）由題意，Sn=2n2+4n，

當n=1時，a1=S1=6，

n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n2+4n）﹣[2（n﹣1）2+4（n﹣1）]=4n+2，

當n=1時，a1=S1=4+2=6，也適合上式

∴數(shù)列{an}的通項公式為an=4n+2，n∈N*；是等差數(shù)列

（2）∵函數(shù)g（x）=2﹣x，

∴數(shù)列{bn}滿足bn=g（n）=2﹣n，

又∵cn=anbn，

∴Tn=6×2﹣1+10×2﹣2+14×2﹣3+…+（4n+2）×2﹣n，…①，

∴Tn=6×2﹣2+10×2﹣3+…+（4n﹣2）×2﹣n+（4n+2）×2﹣（n+1），…②，

①﹣②得：

（3）假設存在實數(shù)λ，使得當x≤λ時，對任意

n∈N*恒成立，即任意n∈N*恒成立，

∵an=4n+2，是遞增數(shù)列，

所以只要﹣x2+4x≤c1，即x2﹣4x+3≥0，解得x≤1或x≥3．

所以存在最大的實數(shù)λ=1，使得當x≤λ時，f（x）≤cn對任意n∈N*恒成立．