Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是棱A₁B₁、A₁D₁的中點，則點B到平面AMN的距離是    ．

Answer 1

【答案】分析：連接AC、BD交于點O，連接A₁C₁與MN的交點為E，連接AE、B₁D₁，作OH⊥AE于H．然后利用三角形的中位線定理和平行四邊形對邊平行，證明出MN∥BD，結(jié)合線平行的判定定理，得到BD∥平面AMN，所以點B到平面AMN的距離，即為直線BD到平面AMN的距離．接下來利用直線與平面垂直的判定定理，證明出OH⊥平面AMN，得OH即為直線BD到平面AMN的距離．這樣就證出了OH即是點B到平面AMN的距離，最后利用Rt△A₁EA∽Rt△HAO，可以求出OH的長，求出點B到平面AMN的距離．
解答：解：連接AC、BD交于點O，連接A₁C₁與MN的交點為E，
連接AE、B₁D₁，作OH⊥AE于H，
可得OH即是點B到平面AMN的距離．下面進(jìn)行證明
∵△A₁B₁D₁中，M、N分別是棱A₁B₁、A₁D₁的中點，
∴MN∥B₁D₁
∵B₁D₁∥BD
∴MN∥BD
∵M(jìn)N⊆平面AMN，BD?平面AMN
∴BD∥平面AMN
點B到平面AMN的距離，即為直線BD到平面AMN的距離
∵AA₁⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD
∴BD⊥AA₁
又∵BD⊥AC，AC∩A₁A=A，AC、A₁A⊆平面AA₁C₁C
∴BD⊥平面AA₁C₁C
∵M(jìn)N∥BD
∴MN⊥平面AA₁C₁C
∵OH⊆平面AA₁C₁C
∴OH⊥MN
又∵OH⊥AE，MN∩AE=E，MN、AE⊆平面AMN
∴OH⊥平面AMN
OH即為直線BD到平面AMN的距離
∴OH即是點B到平面AMN的距離．
∵在正方形A₁B₁C₁D₁中，邊長為1，
M、N分別是A₁B₁、A₁D₁的中點
∴A₁E=A₁C₁=
∴Rt△A₁AE中，AE===
在Rt△HAO中，AO=AC=
∵∠HAO=∠A₁EA=90°-∠A₁AE
∴Rt△A₁EA∽Rt△HAO
∴⇒OH=
故答案為：
點評：本題綜合考查了直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的判定，以及空間點、線、面間的距離計算等知識點，考查了空間想象力，屬于中檔題．