Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則sin+cos的值是

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   -1

Answer 1

A
分析：由AC邊上的高為c-a，由AC=b，表示出三角形的面積，再由a，c及sinB，利用三角形的面積公式表示出面積，兩者相等列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡后，根據(jù)sinB不為0，得到sinA-sinC=sinAsinC，左邊利用和差化積公式變形，右邊利用積化和差公式變形，表示出2cossin，將所求式子平方并利用完全平方公式展開，第一、三項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，將表示出的2cossin代入，求出值，再由c-a大于0，得到C大于A，可得出的范圍，進(jìn)而確定出sin大于0，由三角形內(nèi)角和定理得到=90°-，得出的范圍，進(jìn)而確定出cos大于0，可得出所求式子大于0，開方即可求出值．
解答：∵S_△ABC=acsinB=b（a-c），
∴acsinB=b（a-c），
利用正弦定理化簡得：sinAsinBsinC=sinB（sinA-sinC），
∵sinB≠0，
∴sinA-sinC=sinAsinC，
∴2cossin=[cos（A-C）-cos（A+C）]，
又cos（A-C）=1-2sin²，cos（A+C）=2cos²-1，
∴（sin+cos）²=sin²+2sin+cos+cos²
=[1-cos（C-A）]+[cos（C-A）-cos（A+C）]+[1+cos（C+A）]=1，
∵c-a＞0，∴C＞A，
∴0＜＜90°，
∴sin＞0，
又=90°-，且0＜90°-＜90°，
∴cos＞0，
∴sin+cos＞0，
則sin+cos=1．
故選A
點評：此題考查了三角形的和差化積公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦定理，三角形的面積公式，以及完全平方公式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．