(本小題滿分14分)

已知圓的方程為，定直線的方程為．動圓與圓外切，且與直線相切．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（II）斜率為的直線與軌跡相切于第一象限的點，過點作直線的垂線恰好經(jīng)過點，并交軌跡于異于點的點，記為（為坐標原點）的面積，求的值．

 

【答案】

（Ⅰ），即為動圓圓心C的軌跡M的方程．（II）

【解析】(I)由題意可動圓圓心C到圓心C1（0，2）的距離比它到直線y=-1的距離小1,所以C到C1的距離與它到直線y=-2的距離相等.因而其軌跡為拋物線.

（II）設(shè)點P的坐標為，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)可求出切線的斜率為，可得直線PQ的斜率為，所以直線PQ的方程為．再根據(jù)此直線過點A（0，6），可求出點P的坐標，進而求出PQ的方程然后再與拋物線方程聯(lián)立可得Q的坐標.

從而可求出的面積.

解：（Ⅰ）設(shè)動圓圓心C的坐標為，動圓半徑為R，

則，且，可得 ．

由于圓C1在直線l的上方，所以動圓C的圓心C應(yīng)該在直線l的上方，所以有，從而得，整理得，即為動圓圓心C的軌跡M的方程．

（II）如圖示，設(shè)點P的坐標為，則切線的斜率為，可得直線PQ的斜率為，所以直線PQ的方程為．

由于該直線經(jīng)過點A（0,6），所以有，得．因為點P在第一象限，所以，點P坐標為（4,2），直線PQ的方程為．

把直線PQ的方程與軌跡M的方程聯(lián)立得，

解得或4，可得點Q的坐標為．

所以  

 

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（2011•廣東模擬）（本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)．
（I）化簡f（x）的表達式，并求f（x）的最小正周期；
（II）當x∈[0，
π
2
]  時，求函數(shù)f(x)的值域．

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已知=2，點（）在函數(shù)的圖像上，其中=.
(1)證明：數(shù)列}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)，求及數(shù)列{}的通項公式；
（3）記，求數(shù)列{}的前n項和，并證明.

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 (本小題滿分14分)

某網(wǎng)店對一應(yīng)季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，第天()的銷售價格(單位：元)為，第天的銷售量為，已知該商品成本為每件25元.

（Ⅰ）寫出銷售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）求該商品第7天的利潤；

（Ⅲ）該商品第幾天的利潤最大？并求出最大利潤.

 

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（本小題滿分14分）已知的圖像在點處的切線與直線平行.

⑴ 求，滿足的關(guān)系式；

⑵ 若上恒成立，求的取值范圍；

⑶ 證明：（）

 

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