Question

若函數(shù)f（x）為定義域D上的單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使得當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的取值范圍恰為[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)．若函數(shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A．(-1，-

  3

  4

  )
• B．(-

  5

  4

  ，-

  3

  4

  )
• C．(-

  5

  4

  ，-1)
• D．(-

  3

  4

  ，0)

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)，則g（a）=b，g（b）=a，建立方程組，消去b，求出a的取值范圍，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的方程a²+a+m+1=0在區(qū)間（-1，-

1

2

）內(nèi)有實(shí)數(shù)解進(jìn)行求解．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)，所以a＜b＜0，
所以當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則g（a）=b，g（b）=a，
即a²+m=b，b²+m=a，
兩式相減得a²-b²=b-a，即b=-（a+1），
代入a²+m=b得a²+a+m+1=0，
由a＜b＜0，且b=-（a+1），
∴a＜-（a+1）＜0，
即

a＜-a-1 a+1＞0

，∴

a＜- 1 2 a＞-1

，
解得-1＜a＜-

1

2

．
故關(guān)于a的方程a²+a+m+1=0在區(qū)間（-1，-

1

2

）內(nèi)有實(shí)數(shù)解，
記h（a）=a²+a+m+1，
則 h（-1）＞0，h（-

1

2

）＜0，即1-1+m+1＞0且

1

4

-

1

2

+m+1＜0，
解得m＞-1且m＜-

3

4

．
即-1＜m＜-

3

4

，
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查新定義的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．