Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log2（|x+1|+|x﹣1|﹣a）
（1）當a=3時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若不等式f（x）≥2的解集為R，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=3時，函數(shù)f（x）=log2（|x+1|+|x﹣1|﹣a）=log2（|x+1|+|x﹣1|﹣3），

∴|x+1|+|x﹣1|﹣3＞0，即|x+1|+|x﹣1|＞3，

∴ ①，或 ②，或 ③．

解①求得x＜﹣ ，解②求得x∈，解③求得x＞ ，

故函數(shù)的定義域為{x|x＜﹣ ，或x＞ }

（2）解：若不等式f（x）≥2的解集為R，則f（x）≥2恒成立，

故|x+1|+|x﹣1|﹣a≥4．

∵|x+1|+|x﹣1|≥|x+1﹣（x﹣1）|=2，

∴2﹣a≥4，故有a≤﹣2，

故實數(shù)a的最大值為﹣2

【解析】（1）由函數(shù)的解析式可得|x+1|+|x﹣1|＞3，把它轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，記得所求．（2）由題意可得f（x）≥2恒成立，即|x+1|+|x﹣1|﹣a≥4 恒成立，利用絕對值三角不等式求得|x+1|+|x﹣1|的最小值為2，可得 2﹣a≥4，由此求得實數(shù)a的最大值．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．