Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，G為CC₁的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心．
求證：A₁O⊥平面GBD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：利用線面垂直的判定定理證明DB⊥平面A₁ACC₁ ，證得A₁O⊥DB．再用勾股定理證明A₁O⊥OG，這樣，A₁O就垂直于平面GBD內(nèi)的兩條相交直線，故A₁O⊥平面GBD．

解答： 證明：連接GO．
∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁．
又A₁O?平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．
在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=

2

2

，tan∠GOC=

2

2

，∴∠AA₁O=∠GOC，
則∠A₁OA+∠GOC=90°．∴A₁O⊥OG．
∵OG∩DB=O，∴A₁O⊥平面GBD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明直線和平面垂直的方法，在其中一個(gè)平面內(nèi)找出2條相交直線和另一個(gè)平面垂直．