Question

3．設有關于x的一元二次方程x²+ax+b²=0．
（1）若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；
（2）若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)古典概型的概率公式進行計算即可．
（2）根據(jù)幾何概型的概率公式，求出對應區(qū)域的面積，進行求解即可．

解答 解：（1）若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，
則基本事件共12個：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
設事件A為“方程x²+ax+b²=0有實根”．
則判別式△=a²-4b²≥0，即a≥2b，
若a=0，則b=0，
若a=1，則b=0，
若a=2，則b=0或b=1，
若a=3，則b=0或b=1共有6個，則對應的概率P=$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$．
（2）記事件B=“方程x²+ax+b²=0有實根”．
由△=a²-4b²≥0，得：a≥2b
全部結果所構成的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，
其面積為S=3×2=6．
構成事件A的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥2b}，
則D（3，$\frac{3}{2}$）
其面積為S′=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$，
對應的概率P=$\frac{\frac{9}{4}}{6}$=$\frac{3}{8}$．

點評 本題主要考查古典概型和幾何概型的概率的計算，根據(jù)相應的公式進行求解是解決本題的關鍵．