Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且S_n=1-

1

2

bn.
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=a_nb_n，求證c_n+1≤c_n．

Answer 1

（1）∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，且數(shù)列{a_n}的公差d＞0，
∴a₃=5，a₅=9，公差d=

a5-a3

5-3

=2.
∴a_n=a₅+（n-5）d=2n-1．
又當(dāng)n=1時(shí)，有b₁=S₁=1-

1

2

b1，∴b1=

2

3

.
當(dāng)n≥2時(shí)，有bn=Sn-Sn-1=

1

2

(bn-1-bn)，∴

bn

bn-1

=

1

3

(n≥2).
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b1=

2

3

，q=

1

3

.
∴bn=b1qn-1=

2

3n

.
（2）由（Ⅰ）知cn=anbn=

2(2n-1)

3n

，cn+1=

2(2n+1)

3n+1

，
∴cn+1-cn=

2(2n+1)

3n+1

-

2(2n-1)

3n

=

8(1-n)

3n+1

≤0.
∴c_n+1≤c_n．