Question

某電視臺(tái)有A、B兩種智力闖關(guān)游戲，甲、乙、丙、丁四人參加，其中甲乙兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲A，丙丁兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲B．已知甲、乙兩人各自闖關(guān)成功的概率均為，丙、丁兩人各自闖關(guān)成功的概率均為．
（I ）求游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)成功的人數(shù)的概率；
（II） 記游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)“i個(gè)人游戲A闖關(guān)成功”為事件A_i（i=0，1，2），“j個(gè)人游戲B闖關(guān)成功”為事件B_j（j=0，1，2），則“游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)”為A₁B+A₂B₁+A₂B，利用互斥事件概率公式，可求得結(jié)論；
（II）由題設(shè)可知：ξ=0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，即可得到ξ的分布列和期望．
解答：解：（I）設(shè)“i個(gè)人游戲A闖關(guān)成功”為事件A_i（i=0，1，2），“j個(gè)人游戲B闖關(guān)成功”為事件B_j（j=0，1，2），
則“游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)”為A₁B+A₂B₁+A₂B．
∴P（A₁B+A₂B₁+A₂B）=P（A₁B）+P（A₂B₁）+P（A₂B）=P（A₁）•P（B）+P（A₂）•P（B₁）+P（A₂）•P（B）
=++=．
即游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)的概率為．…（4分）
（II）由題設(shè)可知：ξ=0，1，2，3，4．
P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=
P（ξ=2）=++=
P（ξ=3）=+=
P（ξ=4）=．
∴ξ的分布列為：

ξ		1	2	3	4
P

…（10分）
∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=．        …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，確定變量的取值，求出概率是關(guān)鍵．