Question

某電視臺(tái)有A、B兩種智力闖關(guān)游戲，甲、乙、丙、丁四人參加，其中甲乙兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲A，丙丁兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲B．已知甲、乙兩人各自闖關(guān)成功的概率均為，丙、丁兩人各自闖關(guān)成功的概率均為．
（I）求游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)成功的人數(shù)的概率；
（II）求游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為3的概率．

Answer 1

解：設(shè)“i個(gè)人游戲A闖關(guān)成功”為事件A_i（i=0，1，2），“j個(gè)人游戲B闖關(guān)成功”為事件B_j（j=0，1，2），
（I）“游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)”為A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀．
∴P（A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀）=P（A₁B₀）+P（A₂B₁）+P（A₂B₀）
=P（A₁）•P（B₀）+P（A₂）•P（B₁）+P（A₂）•P（B₀）
=++=
即游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)的概率為． …（6分）
（II）“游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為3”為A₂B₁+A₁B₂．
∴P（A₂B₁+A₁B₂）=P（A₂B₁）+P（A₁B₂）=P（A₂）•P（B₁）+P（A₁）•P（B₂）
=+=．
即游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為3的概率為． …（12分）
分析：設(shè)“i個(gè)人游戲A闖關(guān)成功”為事件A_i（i=0，1，2），“j個(gè)人游戲B闖關(guān)成功”為事件B_j（j=0，1，2），
（I）“游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)”為A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式及互斥事件的概率公式可求游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)的概率；
（II）“游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為3”為A₂B₁+A₁B₂，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式及互斥事件的概率公式可求
游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為3的概率．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，等可能事件的概率，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．