Question

（普通班）已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A、B．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍．
（實驗班）已知函數(shù)R)．
（Ⅰ）若，求曲線在點處的的切線方程；
（Ⅱ）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（實驗班）（Ⅰ）解：當時，．
，                                 
因為切點為（）， 則，               
所以在點（）處的曲線的切線方程為：．   
（Ⅱ）解法一：由題意得，即． 
，         
因為，所以恒成立，
故在上單調遞增，                        
要使恒成立，則，解得．
解法二：             
（1）當時，在上恒成立，故在上單調遞增，
即．                
（2）當時，令，對稱軸，
則在上單調遞增，又    
① 當，即時，在上恒成立，
所以在單調遞增，
即，不合題意，舍去
②當時，， 不合題意，舍去  
綜上所述：                                
20．(普通班)解：（1）∵焦距為4，∴ c=2………………………………………………1分
又∵的離心率為……………………………… 2分
∴，∴a=，b=2………………………… 4分
∴標準方程為………………………………………6分
（2）設直線l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得……………………7分
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
由（1）知右焦點F坐標為（2，0），∵右焦點F在圓內部，∴＜0…………8分
∴（x₁ -2）（x₂-2）+ y₁y₂＜0
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…………………… 9分
∴＜0…………… 11分
∴k＜……… 12分
經(jīng)檢驗得k＜時，直線l與橢圓相交，∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，）……13分

略