Question

（本小題滿分14分）
給定橢圓：. 稱(chēng)圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”. 若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.
（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷是否垂直？并說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1），
橢圓方程為，                       ………… 4分
準(zhǔn)圓方程為.            ……………………5分
（2）①當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823205713004313.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為，
當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，
此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（或）且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是（或），即為（或），顯然直線垂直；
同理可證方程為時(shí)，直線也垂直.  ………………8分
②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中.
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，
則由消去，得
.      ………10分
由化簡(jiǎn)整理得：. 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823205713831645.png" style="vertical-align:middle;" />，所以有 . …11分
設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823205712661421.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以滿足上述方程，
所以，即垂直.                 …………………13分
綜合①②知垂直.                        ……………………14分

略