Question

18．以BC為底邊的等腰三角形ABC中，AC邊上的中線長(zhǎng)為6，當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，腰AB長(zhǎng)為（　�。�

• A． 6$\sqrt{3}$
• B． 6$\sqrt{5}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)D為AC中點(diǎn)，由已知及余弦定理可求cosA=$\frac{2^{2}-{a}^{2}}{2^{2}}$，在△ABD中，由余弦定理可求2a²+b²=144，利用配方法可得S=$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-\frac{9}{4}（{a}^{2}-32）^{2}+2304}$，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，腰AB長(zhǎng)．

解答 解：如下圖所示，設(shè)D為AC中點(diǎn)，
由余弦定理，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2^{2}-{a}^{2}}{2^{2}}$，
在△ABD中，BD²=b²+（$\frac{2}$）²-2×$b×\frac{2}×$$\frac{2^{2}-{a}^{2}}{2^{2}}$，
可得：2a²+b²=144，
所以，S=$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}a$$\sqrt{^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}a$$\sqrt{144-\frac{9{a}^{2}}{4}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}（144-\frac{9{a}^{2}}{4}）}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-\frac{9}{4}（{a}^{2}-32）^{2}+2304}$，
所以，當(dāng)a²=32時(shí)，S有最大值，此時(shí)，b²=144-2a²=80，解得：b=4$\sqrt{5}$，即腰長(zhǎng)AB=4$\sqrt{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了配方法的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．