Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，滿足f（1）=1，且當a，b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．若f（x）≤m²-2am+1（m≠0），對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（-2，2）
• B、（-2，0）∪（0，2）
• C、（-∞，-2]∪[2，+∞）
• D、（-2，-1）∪（1，2）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：先判斷單調(diào)性，設-1≤x₁＜x₂≤1，再利用函數(shù)的奇偶性和已知的條件得到

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，由x₂-x₁＞0，得f（x₂）+f（-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），由函數(shù)的單調(diào)性的定義得到f （x） 在[-1，1]上是增函數(shù)．知f（x）_max=f（1）=1，要f（x）≤m²-2am+1對任意x∈[-1，1]恒成立，只需1≤m²-2am+1對a∈[-1，1]恒成立，g（a）=m²-2ma，有

g(-1)≥0 g(1)≥0

，解不等式組求得m的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
設-1≤x₁＜x₂≤1，
∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）．
又x₁＜x₂，∴x₂+（-x₁）≠0，由題設有

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，
∵x₂+（-x₁）=x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f （x） 在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（1）=1，
∴f（x）≤m²-2am+1對任意x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m²-2am+1對a∈[-1，1]恒成立，
即 m²-2am≥0對a∈[-1，1]恒成立
設g（a）=m²-2mp，則
有

g(-1)≥0 g(1)≥0

，
解得 m≤-2或m≥2，
∴m的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故選：C．

點評：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，根據(jù)函數(shù)的恒成立問題求m的取值范圍是解題的難點．