Question

已知函數(shù)f（x）=1-

a

3x+1

是奇函數(shù)．
（1）求a的值，并用定義證明f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，求函數(shù)的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇函數(shù)的定義，化簡(jiǎn)整理可得a=2；或運(yùn)用奇函數(shù)的性質(zhì)：f（0）=0，可得a=2．再由單調(diào)性的定義證明f（x）是R上的增函數(shù)，注意作差、變形、定符號(hào)和下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（2）運(yùn)用（1）的單調(diào)性，計(jì)算即可得到最值，進(jìn)而得到值域．

解答： 解：（1）方法一、∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
即1-

a

3-x+1

=-1+

a

3x+1

，即2=

a•3x

1+3x

+

a

1+3x

，
解得a=2，
方法二、∵函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即1-

a

2

=0，解得a=2．
證明：∵a=2，∴f（x）=1-

2

3x+1

．
設(shè)x₁，x₂是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

3x1+1

-（1-

2

3x2+1

）=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

．
∵x₁＜x₂，所以3x1-3x2＜0，
又1+3x1＞0，1+3x2＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．                                
（2）由（Ⅰ）知f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最大值為f（2）=

4

5

，函數(shù)的最小值為f（-1）=-

1

2

，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇-

1

2

，

4

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷及運(yùn)用：求函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．