Question

11．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求證：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．

Answer 1

分析 （1）利用AB∥EF及線面平行判定定理可得結(jié)論；
（2）通過取線段CD上點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG使得FG∥BC，則EG∥AC，利用線面垂直的性質(zhì)定理可知FG⊥AD，結(jié)合線面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，從而可得結(jié)論．

解答 證明：（1）因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四點(diǎn)共面，
所以AB∥EF，
又因?yàn)镋F?平面ABC，AB⊆平面ABC，
所以由線面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；
（2）在線段CD上取點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG使得FG∥BC，則EG∥AC，
因?yàn)锽C⊥BD，F(xiàn)G∥BC，
所以FG⊥BD，
又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，
所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因?yàn)锳D⊥EF，且EF∩FG=F，
所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，
故AD⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行及線線垂直的判定，考查空間想象能力，考查轉(zhuǎn)化思想，涉及線面平行判定定理，線面垂直的性質(zhì)及判定定理，注意解題方法的積累，屬于中檔題．