【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.

(Ⅰ)求證:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;
(Ⅲ)已知點H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ,求線段AH的長.

【答案】(Ⅰ)證明:取AB中點F,連接MF、NF,

∵M為AD中點,∴MF∥BD,
∵BD平面BDE,MF平面BDE,∴MF∥平面BDE.
∵N為BC中點,∴NF∥AC,
又D、E分別為AP、PC的中點,∴DE∥AC,則NF∥DE.
∵DE平面BDE,NF平面BDE,∴NF∥平面BDE.
又MF∩NF=F.
∴平面MFN∥平面BDE,則MN∥平面BDE;
(Ⅱ)解:∵PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.
∴以A為原點,分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.
∵PA=AC=4,AB=2,
∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),
, ,
設平面MEN的一個法向量為
,得 ,取z=2,得
由圖可得平面CME的一個法向量為
∴cos< >=
∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值為 ,則正弦值為 ;
(Ⅲ)解:設AH=t,則H(0,0,t),
∵直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ,
∴|cos< >|=| |=| |=
解得:t=4.
∴當H與P重合時直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ,此時線段AH的長為4.
【解析】(Ⅰ)取AB中點F,連接MF、NF,由已知可證MF∥平面BDE,NF∥平面BDE.得到平面MFN∥平面BDE,則MN∥平面BDE;
(Ⅱ)由PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.可以A為原點,分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.求出平面MEN與平面CME的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值,進一步求得正弦值;
(Ⅲ)設AH=t,則H(0,0,t),求出 的坐標,結合直線NH與直線BE所成角的余弦值為 列式求得線段AH的長.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關知識,掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線;2、補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系,以及對平面與平面平行的判定的理解,了解判斷兩平面平行的方法有三種:用定義;判定定理;垂直于同一條直線的兩個平面平行.

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