點P（x0，y0）是曲線C：y=
1x
（x＞0）上的一個動點，曲線C在點P處的切線與x軸、y周分別交于A，B兩點，點O是坐標原點．給出三個命題：①PA=PB；②△OAB的面積為定值；③曲線C上存在兩點M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．其中真命題的個數(shù)是
3
3
．
分析：曲線C在點P處的切線方程為
x
x02
+y-
2
x0
=0，求出A（2x0，0），B（0，
2
x0
），P（x0，
1
x0
），由此得到PA=PB，△OAB的面積S=
1
2
×2x0×
2
x0
=2；由題意知曲線C上存在兩點M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．
解答：解：∵y=
1
x
（x＞0），
∴y′=-
1
x2
，
∴曲線C在點P處的切線方程為：y-
1
x0
=-
1
x02
（x-x0），
整理，得
x
x02
+y-
2
x0
=0，
∴A（2x0，0），B（0，
2
x0
），P（x0，
1
x0
），
∴PA=PB=
x02+
1
x02
，故①正確；
∵A（2x0，0），B（0，
2
x0
），
∴△OAB的面積S=
1
2
×2x0×
2
x0
=2，故②正確；
mo=mn并且mo垂直于mn時，曲線C上存在兩點M，N，使得△OMN為等腰直角三角形，故③正確．
故答案為：3．
點評：本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，注意導數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為4，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左，右焦點，直線y=x與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點為A，△AF1F2的面積為2
6
，點P（x0，y0）是橢圓C上的動點
（1）求橢圓C的方程
（2）若∠F1PF2為鈍角，求點P的橫坐標x0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線x2=2py（p＞0）上的一點（m，1）到焦點的距離為
54
．點P（x0，y0）是拋物線上任意一點（除去頂點），過點M1（0，-1）與P的直線和拋物線交于點P1，過點M2（0，1）與的P直線和拋物線交于點P2．分別以點P1，P2為切點的拋物線的切線交于點P′．
（I）求拋物線的方程；
（II）求證：點P′在y軸上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（x0，y0）是漸近線為2x±3y=0且經(jīng)過定點（6，2
3
）的雙曲線C1上的一動點，點Q是P關于雙曲線C1實軸A1A2的對稱點，設直線PA1與QA2的交點為M（x，y），
（1）求雙曲線C1的方程；
（2）求動點M的軌跡C2的方程；
（3）已知x軸上一定點N（1，0），過N點斜率不為0的直線L交C2于A、B兩點，x軸上是否存在定點 K（x0，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出點K的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•濟寧一模）如圖，已知半橢圓C1：
x2
a2
+y2=1（a＞1，x≥0）的離心率為
2
2
，曲線C2是以半橢圓C1的短軸為直徑的圓在y軸右側的部分，點P（x0，y0）是曲線C2上的任意一點，過點P且與曲線C2相切的直線l與半橢圓C1交于不同點A，B．
（I）求a的值及直線l的方程（用x0，y0表示）；
（Ⅱ）△OAB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•湖北模擬）已知點P（x0，y0）是橢圓E：
x2
2
+y2=1上任意一點x0y0≠1，直線l的方程為
x0x
2
+y0y=1
（I）判斷直線l與橢圓E交點的個數(shù)；
（II）直線l0過P點與直線l垂直，點M（-1，0）關于直線l0的對稱點為N，直線PN恒過一定點G，求點G的坐標．

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