已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=（-1，cosθ），
a
•
b
=-
2
，0＜θ＜π．
（Ⅰ）求θ；
（Ⅱ）求sin(
θ
2
+
π
4
)的值．
分析：（1）根據(jù)向量
a
=(sinθ，1)，
b
=（-1，cosθ），
a
•
b
=-
2
，我們易得到一個關(guān)于θ的三角方程，解方程可得sin(θ-
π
4
)=1，再根據(jù)0＜θ＜π．易求出θ的大�。�
（2）由（1）中結(jié)論，我們求出sin
θ
2
、cos
θ
2
的值，代入兩角和的正弦函數(shù)公式，即可得到sin(
θ
2
+
π
4
)的值．
解答：解：（Ⅰ）因為
a
=(sinθ，1)，
b
=（-1，cosθ），
∴
a
•
b
=-sinθ+cosθ=-
2
sin(θ-
π
4
)=-
2

得sin(θ-
π
4
)=1
∵0＜θ＜π
∴-
π
4
＜θ-
π
4
＜
3π
4

∴θ-
π
4
=
π
2
，
即θ=
3π
4
．
（Ⅱ）∵sin(
θ
2
+
π
4
)=sin
θ
2
cos
π
4
+cos
θ
2
sin
π
4
=
2
2
(sin
θ
2
+cos
θ
2
)(sin
θ
2
+cos
θ
2
)2=sin2
θ
2
+cos2
θ
2
+2sin
θ
2
cos
θ
2
=1+sinθ
由（Ⅰ）知：
θ
2
=
3π
8
∈[0 ， 
π
2
 ]，
∴sin
θ
2
＞0 ， cos
θ
2
＞0，
∴sin
θ
2
+cos
θ
2
=
1+sinθ
=
1+sin
3π
4
=
1+
2
2

∴sin(
θ
2
+
π
4
)=
2
2
(sin
θ
2
+cos
θ
2
)=
2
2
×
1+
2
2
=
2+
2
2
．
點評：要求一個角的大小，我們需要兩個條件：一是該角的一個三角函數(shù)值，二是該角的取值范圍．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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