Question

12．定義方程f（x）=f′（x）的實(shí)數(shù)根x₀叫做函數(shù)f（x）的“新駐點(diǎn)”，若函數(shù)g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x³-1的新駐點(diǎn)分別為α，β，γ，則α，β，γ的大小關(guān)系為γ＞α＞β．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-f'（x），f（x）的“新駐點(diǎn)”就是函數(shù)F（x）的零點(diǎn)，再依次確定α，β，γ的范圍，從而得出α，β，γ的大小關(guān)系．

解答 解：逐個(gè)對(duì)g（x），h（x），φ（x）求“新駐點(diǎn)”，
①對(duì)于g（x）=x，構(gòu)造G（x）=g（x）-g'（x）=x-1，依題意，
顯然，函數(shù)G（x）的零點(diǎn)就是函數(shù)g（x）的“新駐點(diǎn)”，所以α=1；
②對(duì)于h（x）=ln（x+1），構(gòu)造H（x）=h（x）-h'（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{x+1}$，
H（x）單調(diào)遞增，且H（0）=-1，H（1）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，所以，H（x）的零點(diǎn)β∈（0，1）；
③對(duì)于φ（x）=x³-1，構(gòu)造∅（x）=φ（x）-φ'（x）=x³-3x²-1，
∅（3）=-1＜0，∅（4）=15，所以，∅（x）的零點(diǎn)γ∈（3，4）．
綜合以上分析，γ＞α＞β，
故答案為：γ＞α＞β．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理確定函數(shù)零點(diǎn)的范圍，屬于中檔題．