Question

7．極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點為極點，以x軸正半軸為極軸，曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ，射線θ=φ，θ=φ+$\frac{π}{4}$，θ=φ-$\frac{π}{4}$與曲線C交于（不包括極點O）三點A，B，C．
（Ⅰ）求證：|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（Ⅱ）當φ=$\frac{π}{12}$時，求三角形△OBC的面積．

Answer 1

分析 （I）當φ∈$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$，|OB|+|OC|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（φ-$\frac{π}{4}$），展開可與$\sqrt{2}$|OA相等|．φ∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$∪$（-\frac{π}{2}，-\frac{π}{4}]$時，同理可得．
（II）φ=$\frac{π}{12}$時，ρ_B=$4cos\frac{π}{3}$，ρ_C=4cos$（-\frac{π}{6}）$，φ+$\frac{π}{4}$-（φ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{π}{2}$．利用直角三角形面積計算公式即可得出．

解答 （I）證明：當φ∈$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$時，∴|OB|+|OC|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（φ-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$cosφ=$\sqrt{2}$|OA|．
φ∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$∪$（-\frac{π}{2}，-\frac{π}{4}]$時，同理可得．
（II）解：φ=$\frac{π}{12}$時，ρ_B=$4cos\frac{π}{3}$=2，ρ_C=4cos$（-\frac{π}{6}）$=2$\sqrt{3}$，φ+$\frac{π}{4}$-（φ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{π}{2}$．
∴三角形△OBC的面積=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)和差公式、極坐標的應用、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．