Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²+4ax+2a+6．
（1）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）的函數(shù)值均為非負(fù)數(shù)，求g（a）=2-a|a+3|的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）便有△=0，這樣即可解出a；
（2）由f（x）≥0恒成立，便有△=16a²-4（2a+6）≤0，這樣便可解出-1≤a≤$\frac{3}{2}$，根據(jù)a的范圍便可去絕對(duì)值號(hào)得到g（a）=-a²-3a+2，根據(jù)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸即可判斷g（a）在區(qū)間[-1，$\frac{3}{2}$]上的單調(diào)性，從而求出g（a）的值域．

解答 解：（1）由題知f（x）的開口向上，值域?yàn)閇0，+∞）；
∴△=16a²-4（2a+6）=0；
∴2a²-a-3=0；
∴a=-1或a=$\frac{3}{2}$；
（2）f（x）≥0恒成立，∴△≤0；
∴16a²-4（2a+6）≤0；
解得-1≤a≤$\frac{3}{2}$；
∴g（a）=-a（a+3）+2=-a²-3a+2，（-1≤a≤$\frac{3}{2}$）；
g（a）的對(duì)稱軸為a=-$\frac{3}{2}$，開口向下；
∴g（a）在[-1，$\frac{3}{2}$]上是減函數(shù)，g（-1）=-1+3+2=4，g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{2}$+2=-$\frac{19}{4}$；
∴函數(shù)g（a）的值域?yàn)閇-$\frac{19}{4}$，4]．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的圖象和x軸的位置關(guān)系同判別式△取值的關(guān)系，解一元二次不等式，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸判斷二次函數(shù)在一閉區(qū)間上的單調(diào)性的方法，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上值域的方法，要熟悉二次函數(shù)的圖象．