Question

（2007•無錫二模）已知點(diǎn)A，B，C都在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，AB、AC分別過兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂，當(dāng)

.

AC

•

.

F1F2

=0時(shí)，有

.

AF1

•

.

AF2

=

1

9

.

AF1

2成立．
（1）求此橢圓的離心率；
（2）設(shè)

AF1

=m

F1B

，

AF2

=n

F2C

．當(dāng)點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證m+n始終是定值．

Answer 1

分析：（1）欲求橢圓的離心率，只需得到a，c的齊次式，根據(jù)當(dāng)

.

AC

•

.

F1F2

=0時(shí)，有

.

AF1

•

.

AF2

=

1

9

.

AF1

2成立，以及橢圓定義，即可得到．
（2）由（1）中求得的橢圓的離心率，可把橢圓化簡成只有一個(gè)參數(shù)的形式，求出焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2坐標(biāo)，設(shè)出直線AC的方程，與橢圓方程聯(lián)立，再根據(jù)

AF1

=m

F1B

，

AF2

=n

F2C

，分別用參數(shù)的式子表示m，n，計(jì)算m+n，消去參數(shù)，可得一定值，問題得證．

解答：解：（1）當(dāng)

AC

•

F1F2

=0時(shí)，

AF1

•

AF2

cos∠F1AF2=|

AF2

|2=

1

9

AF1

274
∴3|

AF2

|=|

AF1

|．
由橢圓定義，得|

AF2

|+|

AF1

|=2a，
∴|

AF1

|=

3a

2

，|

AF2

|=

a

2

．
在Rt△AF₁F₂中，∵|

AF1

|2-|

AF2

|2=|F1F2|2，
∴

9a2

4

-

a2

4

=4c2．∴e=

c

a

=

2

2

．
（2）由e=

2

2

，得

b

a

=

1-e2

=

2

2

，∴b=c．
橢圓方程化為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，即x²+2y²=2b²．
焦點(diǎn)F₁（-b，0），F(xiàn)₂（b，0），
設(shè)A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
①當(dāng)直線AC的斜率存在時(shí)，直線AC的方程為y=

y0

x0-b

(x-b)．
代入橢圓方程，得（3b²-2bx₀）y²+2by₀（x₀-b）y-b²y₀²=0．
∴y0y2=-

b2 y 2 0

3b2-2bx0

，則y2=-

by0

3b-2x0

．
∴n=

|AF2|

|F2C|

=

y0

-y2

=

3b-2x0

b

．
同理可得m=

3b+2x0

b

．
②當(dāng)直線AC的斜率不存在時(shí)，n=1，m=

3b+2b

b

=5，m+n=6．
綜上所述，m+n是定值6.2

點(diǎn)評：本題考查了橢圓離心率的求法，以及直線和橢圓聯(lián)立，韋達(dá)定理得應(yīng)用．