已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓
x2
a2
+
y2
a2-1
=1（a＞1）的左、右兩個焦點，一條直線l經(jīng)過點F1與橢圓交于A、B兩點，且△ABF2的周長為8．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若l的傾斜角為
π
4
，求|AB|的值．
由橢圓的定義，得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，…（2分）
又|AF1|+|BF1|=|AB|，
所以△ABF2的周長=|AB|+|AF2|+|BF2|=4a．…（4分）
又因為△ABF2的周長為8，所以4a=8，則a=2．…（5分）
（2）由（1）得，橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，F(xiàn)1（-1，0），…（7分）
因為直線l的傾斜角為
π
4
，所以直線l斜率為1，
故直線l的方程為y=x+1．…（8分）
由
y=x+1
x2
4
+
y2
3
=1
消去y，得7x2+8x-8=0，…（9分）
（法一：|AB|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]
=
24
7
）
法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），解得，x1=
-4+6
2
7
，x2=
-4-6
2
7
…（10分）
所以y1=
3+6
2
7
，y2=
3-6
2
7

則|AB|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(
12
2
7
)2+(
12
2
7
)2
=
24
7
…（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知直線y=2x+b與曲線xy=2相交于A，B兩點，若|AB|=5，則實數(shù)b的值是（　　）
A．2B．-2C．±2D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點O，左頂點A（-2，0），離心率e=
1
2
，F(xiàn)為右焦點，過焦點F的直線交橢圓C于P、Q兩點（不同于點A）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)△APQ的面積S=
18
2
7
時，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）求
OP
•
FP
的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，A、B是橢圓的左、右頂點，P是橢圓上不同于A、B的一點，直線PA、PB斜傾角分別為α、β，則
cos(α-β)
cos(α+β)
=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知
a
=(2mx，y-1)，
b
=(2x，y+1)，其中m∈R，
a
⊥
b
，動點M（x，y）的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程，并說明該軌跡方程所表示曲線的形狀；
（2）當(dāng)m=
1
8
時，設(shè)過定點P（0，2）的直線l與軌跡C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線C：y2=4x焦點為F，直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A，B兩點
（Ⅰ）若線段AB的中點在直線y=1上，求直線l的方程；
（Ⅱ）若線段|AB|=20，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

求經(jīng)過點P（-1，-6）與拋物線C：x2=4y只有一個公共點的直線l方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b，b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓Cl的長軸三等分，且圓C2的面積為π．橢圓Cl的下頂點為E，過坐標(biāo)原點O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點A、B，直線EA、EB與橢圓C1的另一個交點分別是點P、M．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）（i）設(shè)PM的斜率為t，直線l斜率為K1，求
K1
t
的值；
（ii）求△EPM面積最大時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+
2
與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足
OA
•
OB
＜6（其中O為原點），求k的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案