已知函數(shù)f(x)=ax3+x2+bx(其中常數(shù)a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函數(shù).
(1)求f(x)的表達式;
(2)討論g(x)的單調性,并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值.
分析:(Ⅰ)由f'(x)=3ax
2+2x+b得g(x)=fax
2+(3a+1)x
2+(b+2)x+b,再由函數(shù)g(x)是奇函數(shù),由g(-x)=-g(x),利用待系數(shù)法求解.
(2)由(1)知
g(x)=-x2+2x,再求導g'(x)=-x
2+2,由g'(x)≥0求得增區(qū)間,由g'(x)≤0求得減區(qū)間;求最值時從極值和端點值中取.
解答:解:(1)由題意得f'(x)=3ax
2+2x+b
因此g(x)=f(x)+f'(x)=ax
3+(3a+1)x
2+(b+2)x+b
因為函數(shù)g(x)是奇函數(shù),所以g(-x)=-g(x),
即對任意實數(shù)x,有a(-x)
3+(3a+1)(-x)
2+(b+2)(-x)+b=-[ax
3+(3a+1)x
2+(b+2)x+b]
從而3a+1=0,b=0,
解得
a=-,b=0,因此f(x)的解析表達式為
f(x)=-x3+x2.
(2)由(Ⅰ)知
g(x)=-x3+2x,
所以g'(x)=-x
2+2,令g'(x)=0
解得
x1=-,x2=則當
x<-或x>時,g'(x)<0
從而g(x)在區(qū)間
(-∞,-],
[,+∞)上是減函數(shù),
當
-<x<時,g′(x)>0,
從而g(x)在區(qū)間
[-,]上是增函數(shù),
由前面討論知,g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值只能在
x=1,,2時取得,
而
g(1)=,g()=,g(2)=,
因此g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為
g()=,最小值為
g(2)=.
點評:本題主要考查構造新函數(shù),用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和求函數(shù)的最值.