已知函數(shù)f(x)=ax3+x2+bx(其中常數(shù)a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函數(shù).
(1)求f(x)的表達式;
(2)討論g(x)的單調性,并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值.
分析:(Ⅰ)由f'(x)=3ax2+2x+b得g(x)=fax2+(3a+1)x2+(b+2)x+b,再由函數(shù)g(x)是奇函數(shù),由g(-x)=-g(x),利用待系數(shù)法求解.
(2)由(1)知g(x)=-
1
3
x2+2x
,再求導g'(x)=-x2+2,由g'(x)≥0求得增區(qū)間,由g'(x)≤0求得減區(qū)間;求最值時從極值和端點值中取.
解答:解:(1)由題意得f'(x)=3ax2+2x+b
因此g(x)=f(x)+f'(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b
因為函數(shù)g(x)是奇函數(shù),所以g(-x)=-g(x),
即對任意實數(shù)x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b]
從而3a+1=0,b=0,
解得a=-
1
3
,b=0
,因此f(x)的解析表達式為f(x)=-
1
3
x3+x2

(2)由(Ⅰ)知g(x)=-
1
3
x3+2x
,
所以g'(x)=-x2+2,令g'(x)=0
解得x1=-
2
,x2=
2

則當x<-
2
或x>
2
時,g'(x)<0
從而g(x)在區(qū)間(-∞,-
2
]
,[
2
,+∞)
上是減函數(shù),
-
2
<x<
2
時,g′(x)>0

從而g(x)在區(qū)間[-
2
,
2
]
上是增函數(shù),
由前面討論知,g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值只能在x=1,
2
,2
時取得,
g(1)=
5
3
,g(
2
)=
4
2
3
,g(2)=
4
3
,
因此g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為g(
2
)=
4
2
3
,最小值為g(2)=
4
3
點評:本題主要考查構造新函數(shù),用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和求函數(shù)的最值.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過原點,則不等式f(x)>
34
的解集為
(-∞,-2)
(-∞,-2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經過點(1,3),解不等式f(
2x
)>3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
(1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調性;
(2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時的x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
f(x)   ,  x>0
-f(x) ,    x<0
 給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當a<0時,若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號是
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案