Question

16．（4x²+6x+$\frac{9}{4}}$）⁴的展開式中，含有x⁴的項(xiàng)的系數(shù)為4374．

Answer 1

分析 根據(jù)（4x²+6x+$\frac{9}{4}}$）⁴=[（4x²+6x）+$\frac{9}{4}}$]⁴，它的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{4}^{r}$•（4x²+6x）^4-r•${（\frac{9}{4}）}^{r}$．對(duì)于（4x²+6x）^4-r，再求得它的通項(xiàng)公式，可得含有x⁴的項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：（4x²+6x+$\frac{9}{4}}$）⁴=[（4x²+6x）+$\frac{9}{4}}$]⁴，它的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{4}^{r}$•（4x²+6x）^4-r•${（\frac{9}{4}）}^{r}$．
對(duì)于（4x²+6x）^4-r，它的通項(xiàng)公式為T_k+1=${C}_{4-r}^{k}$•4^4-r-k•6^k•x^8-2r-k，0≤k≤4-r，k、r均為自然數(shù)．
令8-2r-k=4，可得k=0、r=2，或k=2、r=1．
∴含有x⁴的項(xiàng)的系數(shù)為 ${C}_{4}^{2}$•${（\frac{9}{4}）}^{2}$•${C}_{2}^{0}$•4²•6⁰+${C}_{4}^{1}$•$\frac{9}{4}$•${C}_{3}^{2}$•4•6²=4374，
故答案為：4374．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式展開式定理的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)用展開式的通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)的系數(shù)，是中檔題目．