如圖，△ABC為正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中點(diǎn)，求證：①DE=DA;②平面BDM⊥平面ECA；③平面DEA⊥平面ECA.

證明：①取EC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF.

∵CE⊥平面ABC，

∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.

∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

∵EF=CE=DB,DF=BC=AB,

∴Rt△EFD≌Rt△DBA,故DE=AD.

②取AC的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、BN，則MNCF.

∵BD，∴MNBD，∴N∈平面BDM.

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.

又∵AC⊥BN,∴BN⊥平面ECA.

又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA.

③∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.

又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.

點(diǎn)評：本題涉及線面垂直、面面垂直的性質(zhì)和判定，這里證明的關(guān)鍵是BN⊥平面ECA，在這里應(yīng)充分體會線線垂直、線面垂直與面面垂直的關(guān)系.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1，高為h（h＞2），動點(diǎn)M在側(cè)棱BB1上移動．設(shè)AM與側(cè)面BB1C1C所成的角為θ．
（1）當(dāng)θ∈[
π
6
，
π
4
]時，求點(diǎn)M到平面ABC的距離的取值范圍；
（2）當(dāng)θ=
π
6
時，求向量
AM
與
BC
夾角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都是2，D、E分別為CC1、A1B1的中點(diǎn)．
（1）求證C1E∥平面A1BD；
（2）求證AB1⊥平面A1BD；
（3）求三棱錐A1-C1DE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都為a，P為A1B上的點(diǎn)．
（1）試確定
A1P
PB
的值，使得PC⊥AB；
（2）若
A1P
PB
=
2
3
，求二面角P-AC-B的大小；
（3）在（2）的條件下，求C1到平面PAC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2
3
，D是棱AC之中點(diǎn)，∠C1DC=60°．
（1）求證：AB1∥平面BC1D；
（2）求二面角D-BC1-C的大小；
（3）求點(diǎn)B1到平面BC1D的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•湖北模擬）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都為a，P為棱A1B上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）試確定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A1P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)C1到面PAC的距離．

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