Question

12．已知橢圓C的一個頂點(diǎn)為A（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離為3
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C與直線y=x+1相交于不同的兩點(diǎn)M，N，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，表示出其右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，依題意，可得d=$\frac{|\sqrt{{a}^{2}+1}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=3，解可得a²的值，代入可得橢圓的方程；
（2）根據(jù)題意，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓的方程并消去y可得x²+3（x+1）²-3=0，分析可得x₁、x₂是該方程的2個根，解方程可得x₁、x₂的值，即可得M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而可得$\overrightarrow{AM}$、$\overrightarrow{AN}$的坐標(biāo)，由數(shù)量積公式計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，橢圓C的一個頂點(diǎn)為A（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，
其右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\sqrt{{a}^{2}-1}$，0），
右焦點(diǎn)到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離d=$\frac{|\sqrt{{a}^{2}+1}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=3，
解可得，a²=3，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）根據(jù)題意，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立直線與橢圓的方程可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
消去y可得x²+3（x+1）²-3=0，x₁、x₂是該方程的2個根，
化簡可得4x²+6x=0，
解可得x₁=0，x₂=-$\frac{3}{2}$，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
M、N在直線y=x+1上，則y₁=1，y₂=-$\frac{1}{2}$，
則M（0，1）N（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）
則$\overrightarrow{AM}$=（0，2），$\overrightarrow{AN}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=0×（-$\frac{3}{2}$）+2×$\frac{1}{2}$=1；
即$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的值為1．

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的方程的應(yīng)用，對于此類問題，一般要聯(lián)立直線與橢圓的方程，通過消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程分析求解．