Question

（2011•豐臺(tái)區(qū)二模）如圖所示，∠AOB=1rad，點(diǎn)A_l，A₂，…在OA上，點(diǎn)B₁，B₂，…在OB上，其中的每一個(gè)實(shí)線段和虛線段的長(zhǎng)均為1個(gè)長(zhǎng)度單位，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，沿著實(shí)線段和以O(shè)為圓心的圓弧勻速運(yùn)動(dòng)，速度為l長(zhǎng)度單位/秒，則質(zhì)點(diǎn)M到達(dá)A₃點(diǎn)處所需要的時(shí)間為

6

秒，質(zhì)點(diǎn)M到達(dá)A_n點(diǎn)處所需要的時(shí)間為

an=

n(n+1) 2 ，n 為奇數(shù) 秒，質(zhì)點(diǎn)M到達(dá)An點(diǎn)處所需要的時(shí)間為 n(n+3) 2 ，n 為偶數(shù).

秒．

Answer 1

分析：利用弧長(zhǎng)公式L=Rα及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出質(zhì)點(diǎn)M到達(dá)A_n點(diǎn)處時(shí)經(jīng)過(guò)的路程，據(jù)所需時(shí)間等于路程除以速度，求出時(shí)間．

解答：解：先算出當(dāng)n=10時(shí)，質(zhì)點(diǎn)M到達(dá)A₁₀點(diǎn)處時(shí)經(jīng)過(guò)的路程為
（1+1）+（1+2）+（1+3）+…+（1+10）
=2+3+4+…+11
=

(2+11)×10

2

=65
∵速度為l單位/秒，
∴質(zhì)點(diǎn)M到達(dá)A₁₀點(diǎn)處所需要的時(shí)間為65秒，
類(lèi)似地，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)M到達(dá)A_n點(diǎn)處所需要的時(shí)間為：

n(n+1)

2

；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)M到達(dá)A_n點(diǎn)處所需要的時(shí)間為：

n(n+3)

2

；
故答案為an=

n(n+1) 2 ，n 為奇數(shù) n(n+3) 2 ，n 為偶數(shù)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的弧長(zhǎng)公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．解題關(guān)鍵是由特殊到一般，通過(guò)對(duì)特殊情況的觀察，就可得到應(yīng)進(jìn)行分類(lèi)討論．