Question

某公司為了實現(xiàn)1 000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(萬元)隨銷售利潤x(萬元)的增加而增加，但獎勵總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.25x，y＝log₇x＋1，y＝1.002^x，其中哪個模型能符合公司要求？

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：某個獎勵模型符合公司要求，即當(dāng)x∈[10，1 000]時，能夠滿足y≤5，且≤25%，可以先從函數(shù)圖象得到初步的結(jié)論，再通過具體計算，確認結(jié)果． 　　解：借助計算器或計算機作出函數(shù)y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖象，如圖所示． 　　觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10，1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在y＝5的上方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進行獎勵才能符合公司要求，下面通過計算確認上述判斷． 　　首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬元． 　　對于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10，1 000]上是單調(diào)遞增的，當(dāng)x∈(20，1 000)時，y＞5，因此該模型不符合要求． 　　對于模型y＝1.002x，利用計算器可知，1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函數(shù)，故當(dāng)x∈(806，1 000]時，y＞5，因此，也不符合題意． 　　對于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10，1 000]上單調(diào)遞增，且當(dāng)x＝1 000時，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求． 　　再計算按模型y＝log7x＋1獎勵時，獎金是否超過利潤x的25%，即當(dāng)x∈[10，1 000]時，利用計算器或計算機作f(x)＝log7x＋1－0.25x的圖象，由圖象可知f(x)是減函數(shù)，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x． 　　所以當(dāng)x∈[10，1 000]時，y＜0.25x．這說明，按模型y＝log7x＋1獎勵時獎金不超過利潤的25%． 　　綜上所述，模型y＝log7x＋1確實符合公司要求．

提示：

從這個例題我們看到，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)模型比一次項系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)模型增長速度要快得多，而后者又比真數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)模型要快，從這個實例我們可以體會到對數(shù)增長，直線上升，指數(shù)爆炸等不同函數(shù)類型增大的含義．