某公司為了實現(xiàn)1 000萬元利潤的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(萬元)隨銷售利潤x(萬元)的增加而增加,但獎勵總數(shù)不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%,現(xiàn)有三個獎勵模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個模型能符合公司要求?

答案:
解析:

  思路分析:某個獎勵模型符合公司要求,即當(dāng)x∈[10,1 000]時,能夠滿足y≤5,且≤25%,可以先從函數(shù)圖象得到初步的結(jié)論,再通過具體計算,確認結(jié)果.

  解:借助計算器或計算機作出函數(shù)y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的圖象,如圖所示.

  觀察圖象發(fā)現(xiàn),在區(qū)間[10,1 000]上模型y=0.25x,y=1.002x的圖象都有一部分在y=5的上方,這說明只有按模型y=log7x+1進行獎勵才能符合公司要求,下面通過計算確認上述判斷.

  首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬元.

  對于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1 000]上是單調(diào)遞增的,當(dāng)x∈(20,1 000)時,y>5,因此該模型不符合要求.

  對于模型y=1.002x,利用計算器可知,1.002806≈5.005,由于y=1.002x是增函數(shù),故當(dāng)x∈(806,1 000]時,y>5,因此,也不符合題意.

  對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1 000]上單調(diào)遞增,且當(dāng)x=1 000時,y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求.

  再計算按模型y=log7x+1獎勵時,獎金是否超過利潤x的25%,即當(dāng)x∈[10,1 000]時,利用計算器或計算機作f(x)=log7x+1-0.25x的圖象,由圖象可知f(x)是減函數(shù),因此f(x)<f(10)≈-0.316 7<0,即log7x+1<0.25x.

  所以當(dāng)x∈[10,1 000]時,y<0.25x.這說明,按模型y=log7x+1獎勵時獎金不超過利潤的25%.

  綜上所述,模型y=log7x+1確實符合公司要求.


提示:

從這個例題我們看到,底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)模型比一次項系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)模型增長速度要快得多,而后者又比真數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)模型要快,從這個實例我們可以體會到對數(shù)增長,直線上升,指數(shù)爆炸等不同函數(shù)類型增大的含義.


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