Question

某公司為了實現(xiàn)1 000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(萬元)隨銷售利潤x(萬元)的增加而增加，但獎勵總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25％，現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.25x，y＝log₇x＋1，y＝1.002^x，其中哪個模型能符合公司要求？

Answer 1

答案：
解析：

解：借助計算器或計算機作出函數(shù)y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖像如下圖所示： 　　觀察圖像發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10，1000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖像都有一部分在y＝5的上方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進行獎勵才能符合公司要求，下面通過計算確認上述判斷． 　　首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬． 　　對于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10，1000]上是單調遞增的，當x∈(20，1000)時，y＞5，因此該模型不符合要求． 　　對于模型y＝1.002x，利用計算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函數(shù)，故當x∈(806，1000]時，y＞5，因此，也不符合題意． 　　對于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10，1000]上單調遞增且當x＝1000時，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求． 　　再計算按模型y＝log7x＋1獎勵時，獎金是否超過利潤x的25％，即當x∈[10，1000]時，利用計算器或計算機作f(x)＝log7x＋1－0.25x的圖像，由圖像可知f(x)是減函數(shù)，因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x． 　　所以當x∈[10，1000]時，y＜0.25x．這說明，按模型y＝log7x＋1獎勵不超過利潤的25％． 　　綜上所述，模型y＝log7x＋1確實符合公司要求．

提示：

思路分析：本題主要考查指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長差異，以及應用數(shù)學知識解決實際問題的能力．某個獎勵模型符合公司要求，即當x∈[10，1000]時，能夠滿足y≤5，且≤25％，可以先從函數(shù)圖像得到初步的結論，再通過具體計算，確認結果． 　　綠色通道：從這個例題我們看到，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)模型比一次項系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)模型增長速度要快得多，而后者又比真數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)模型要快，從這個實例我們可以體會到對數(shù)增長，直線上升，指數(shù)爆炸等不同函數(shù)類型增大的含義．