18.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸上,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,且該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)與圓x2+(y+2)2=4相切的直線l:y=kx+t交拋物線于不同的兩點(diǎn)M、N,若拋物線上一點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{OC}$=λ($\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$)(λ>0),求λ的取值范圍.

分析 (1)由題意,設(shè)拋物線方程為x2=2py,由該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2可得$\frac{2}{p}+\frac{p}{2}=2$,從而求p,可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)由題意可得k2=t+$\frac{{t}^{2}}{4}$,由直線方程與拋物線聯(lián)立可得△=16(k2+t)>0,從而求t的取值范圍,進(jìn)而由韋達(dá)定理可得$λ=1+\frac{t}{{2{k^2}}}=1+\frac{2}{t+4}$,從而求λ的取值范圍.

解答 解:(1)x2=2py,$x=2時(shí),y=\frac{2}{p}$,$\frac{2}{p}+\frac{p}{2}=2$,p=2,∴x2=4y…(4分)
(2)$\frac{|2+t|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2∴4{k^2}=4t+{t^2}$,∴k2=t+$\frac{{t}^{2}}{4}$①
$\left\{\begin{array}{l}y=kx+t\\{x^2}=4y\end{array}\right.∴{x^2}-4kx-4t=0$,
△=16(k2+t)>0②
由①②可知,t∈(-∞,-8)∪(0,+∞)…(6分)
設(shè)C(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=4k,∴${y_1}+{y_2}=4{k^2}+2t$.
∴$\left\{\begin{array}{l}x=λ({{x_1}+{x_2}})=4kλ\\ y=λ({{y_1}+{y_2}})=λ({4{k^2}+2t})\end{array}\right.$,代入x2=4y得16k2λ2=4λ(4k2+2t).
∴$λ=1+\frac{t}{{2{k^2}}}=1+\frac{2}{t+4}$-------------(9分)
∵t>0或t<-8,∴$-\frac{1}{4}<\frac{1}{t+4}<0$或$0<\frac{1}{t+4}<\frac{1}{4}$
∴$λ∈({\frac{1}{2},1})∪({1,\frac{3}{2}})$---------------------------(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的方程的求法及圓錐曲線與直線的運(yùn)算,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

8.已知f(1+x)=x2+2x-1,則f(x)=x2-2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

9.已知函數(shù)f(x)=2x-2-x,定義域?yàn)镽;函數(shù)g(x)=2x+1-22x,定義域?yàn)閇-1,1].
(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性(不必證明)并證明其奇偶性;
(Ⅱ)若方程g(x)=t有解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ) 若不等式f(g(x))+f(3am-m2-1)≤0對(duì)一切x∈[-1,1],a∈[-2,2]恒成立,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

6.已知對(duì)k∈R,直線y-kx-1=0與橢圓$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A.(1,2]B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

13.已知a,b∈R,那么“a2>b2”是“a>|b|”的(  )
A.充分非必要條件B.必要非充分條件
C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

3.已知f(x+2)的定義域?yàn)閇-1,2],則f(2x)的定義域?yàn)椋ā 。?table class="qanwser">A.[-1,2]B.[2,16]C.[0,2]D.[1,4]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

10.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{x-1},x<0}\\{(x-1)^{2},x≥0}\end{array}\right.$,若直線y=m與函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍(0,1).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

7.若x,y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{y≤2}\\{x+y≥2}\end{array}\right.$,則z=$\frac{y}{x}$的取值范圍是[0,+∞).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

8.已知關(guān)于x的函數(shù)y=-2sin2x-2acosx-(2a-1),x∈R,常數(shù)a∈R.
(1)求y的最小值f(a);
(2)求使f(a)=$\frac{1}{2}$的a值,并求出此時(shí)函數(shù)y的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案