Question

【題目】給出定理：在圓錐曲線中，是拋物線的一條弦，是的中點，過點且平行于軸的直線與拋物線的交點為.若兩點縱坐標之差的絕對值，則的面積，試運用上述定理求解以下各題：

（1）若，所在直線的方程為，是的中點，過且平行于軸的直線與拋物線的交點為，求；

（2）已知是拋物線的一條弦，是的中點，過點且平行于軸的直線與拋物線的交點為，分別為和的中點，過且平行于軸的直線與拋物線分別交于點，若兩點縱坐標之差的絕對值，求和；

（3）請你在上述問題的啟發(fā)下，設(shè)計一種方法求拋物線：與弦圍成成的“弓形”的面積，并求出相應面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）設(shè)計方法見詳解，

【解析】

（1）由題意，先計算出，然后直接根據(jù)求解的值；

（2）根據(jù)條件可知，的面積計算符合定理的計算方法，故可直接利用定理中的計算方法求解的值；

（3）對“弓形”進行無數(shù)次（2）中的操作，每操作一次面積增加的量構(gòu)成等比數(shù)列，因此面積可以寫成極限式：，求此極限的結(jié)果即為“弓形”面積.

（1）聯(lián)立可得：，所以，所以；

（2）設(shè)點的縱坐標為，由題意可知為拋物線的一條弦，是的中點，且兩點縱坐標之差的絕對值為，

由已知的結(jié)論可知：，同理可知；

（3）如果將（2）中的結(jié)果看成是一次操作，將操作繼續(xù)下去，取每段新的弦的中點做平行于軸的直線與拋物線得到交點，并與弦的端點連接，計算得到的新三角形面積，操作無限重復下去：

第一次操作：增加的面積為，面積為；

第二次操作：增加了個三角形，面積為；

第三次操作：增加了個三角形，面積為；……

由此可知每次新增加的面積構(gòu)成一個公比為的等比數(shù)列，隨著操作持續(xù)下去這些三角形逐漸填滿整個“弓形”，

所以“弓形”面積為：.