【題目】已知橢圓:的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為的等腰直角三角形,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)在直線上,且,求證:為定值;
(3)設(shè)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),,且點(diǎn)到直線的距離為常數(shù),求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【解析】
(1)由橢圓的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為2的等腰直角三角形,求出,,由此能求出橢圓的方程.
(2)設(shè),,則的方程,由,得,,由此能證明為定值.
(3)設(shè),,,由,得,又點(diǎn)在橢圓上,得:,從而,,由此能求出點(diǎn)軌跡方程.
解:(1)橢圓的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為2的等腰直角三角形,為坐標(biāo)原點(diǎn),
,,
橢圓的方程為.
證明:(2)設(shè),,則的方程,
由,得,,
,
為定值.
解:(3)設(shè),,,由,得,①
又點(diǎn)在橢圓上,得:,②
聯(lián)立①②,得:,,③
由,得,
,
,
化簡(jiǎn),得點(diǎn)軌跡方程為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出定理:在圓錐曲線中,是拋物線的一條弦,是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為.若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值,則的面積,試運(yùn)用上述定理求解以下各題:
(1)若,所在直線的方程為,是的中點(diǎn),過(guò)且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為,求;
(2)已知是拋物線的一條弦,是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為,分別為和的中點(diǎn),過(guò)且平行于軸的直線與拋物線分別交于點(diǎn),若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值,求和;
(3)請(qǐng)你在上述問(wèn)題的啟發(fā)下,設(shè)計(jì)一種方法求拋物線:與弦圍成成的“弓形”的面積,并求出相應(yīng)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義域是上的連續(xù)函數(shù)圖像的兩個(gè)端點(diǎn)為、,是圖像上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線交線段于點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)可以重合),我們稱的最大值為該函數(shù)的“曲徑”,下列定義域是上的函數(shù)中,曲徑最小的是( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點(diǎn)在線段上移動(dòng),有下列判斷:①平面平面;②平面平面;③三棱錐的體積不變;④平面.其中,正確的是______.(把所有正確的判斷的序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),如果對(duì)任意,恒有成立,則稱為階縮放函數(shù).
(1)已知函數(shù)為二階縮放函數(shù),且當(dāng)時(shí),,求的值;
(2)已知函數(shù)為二階縮放函數(shù),且當(dāng)時(shí),,求證:函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn);
(3)已知函數(shù)為階縮放函數(shù),且當(dāng)時(shí), 的取值范圍是,求在上的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果實(shí)系數(shù)、、和、、都是非零常數(shù).
(1)設(shè)不等式和的解集分別是、,試問(wèn)是的什么條件?并說(shuō)明理由.
(2)在實(shí)數(shù)集中,方程和的解集分別為和,試問(wèn)是的什么條件?并說(shuō)明理由.
(3)在復(fù)數(shù)集中,方程和的解集分別為和,證明:是的充要條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,曲線由兩個(gè)橢圓:和橢圓:組成,當(dāng)成等比數(shù)列時(shí),稱曲線為“貓眼曲線”.
(1)若貓眼曲線過(guò)點(diǎn),且的公比為,求貓眼曲線的方程;
(2)對(duì)于題(1)中的求貓眼曲線,任作斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線與該曲線相交,交橢圓所得弦的中點(diǎn)為M,交橢圓所得弦的中點(diǎn)為N,求證:為與無(wú)關(guān)的定值;
(3)若斜率為的直線為橢圓的切線,且交橢圓于點(diǎn),為橢圓上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若不等式對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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