Question

4．如圖，正四棱錐P-ABCD的底面長為2，側(cè)棱長為$\sqrt{10}$，點O為底面ABCD的中心
（Ⅰ）求證：PA⊥BD；
（Ⅱ）求二面角C-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理證明BD⊥面PAC，即可證明PA⊥BD；
（Ⅱ）根據(jù)二面角的定義，作出二面角的平面角，即可求二面角C-PB-D的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連接PO，
∵底面是正方形，∴BD⊥AC，
∵PB=PD，∴PO⊥BD，
∵PO∩AC=O，
∴BD⊥面PAC，
∵PA?面PAC，
∴PA⊥BD；
（Ⅱ）同理可得AC⊥面PBD，
過O作OE⊥PB于E，
連接CE，則CE⊥PB，
即∠CEO是二面角C-PB-D的平面角，
∵正四棱錐P-ABCD的底面長為2，側(cè)棱長為$\sqrt{10}$，
∴OC=OB=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{10}$，
則PO=${\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}}^{\;}$=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}PO•OB=\frac{1}{2}PB•OE$，
∴OE=$\frac{PO•OB}{PB}$=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{4}{\sqrt{10}}$，
則CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{2+\frac{16}{10}}=\sqrt{\frac{36}{10}}$=$\frac{6}{\sqrt{10}}$，
則cos∠CEO=$\frac{OE}{CE}$=$\frac{\frac{4}{\sqrt{10}}}{\frac{6}{\sqrt{10}}}=\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，
即二面角C-PB-D的余弦值是$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查直線垂直的證明，以及二面角的求解，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合二面角的平面角的定義是解決本題的關(guān)鍵．