如圖,已知直線l:x=my+1過橢圓的右焦點F,拋物線:
的焦點為橢圓C的上頂點,且直線l交橢圓C于A、B兩點,點A、F、B在直線g:x=4上的射影依次為點D、K、E.(1)橢圓C的方程;(2)直線l交y軸于點M,且
,當(dāng)m變化時,探求λ1+λ2的值是否為定值?若是,求出λ1+λ2的值,否則,說明理由;(3)接AE、BD,試證明當(dāng)m變化時,直線AE與BD相交于定點
.
(1)
(2) 當(dāng)m變化時,λ1+λ2的值為定值;
(3)當(dāng)m變化時,AE與BD相交于定點
解析試題分析:(1)知橢圓右焦點F(1,0),∴c=1,
拋物線的焦點坐標(biāo)
,∴
∴b2=3
∴a2=b2+c2=4∴橢圓C的方程 4分
(2)知m≠0,且l與y軸交于,
設(shè)直線l交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2)
由- 5分
∴△=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0
∴ 6分
又由
∴
同理- 7分
∴
∵
∴
所以,當(dāng)m變化時,λ1+λ2的值為定值; 9分
(3):由(2)A(x1,y1),B(x2,y2),∴D(4,y1),E(4,y2)
方法1)∵ 10分
當(dāng)時,
=
= 12分
∴點在直線lAE上, 13分
同理可證,點也在直線lBD上;
∴當(dāng)m變化時,AE與BD相交于定點 14分
方法2)∵ 10分
- 11分
= 12分
∴kEN=kAN∴A、N、E三點共線,
同理可得B、N、D也三點共線; 13分
∴當(dāng)m變化時,AE與BD相交于定點. 14分
考點:橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系
點評:解決的關(guān)鍵是對于橢圓的幾何性質(zhì)的表示,以及聯(lián)立方程組的思想結(jié)合韋達定理來求解,屬于基礎(chǔ)題。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:
的右焦點
,過原點和
軸不重合的直線與橢圓
相交于
,
兩點,且
,
最小值為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若圓:的切線
與橢圓
相交于
,
兩點,當(dāng)
,
兩點橫坐標(biāo)不相等時,問:
與
是否垂直?若垂直,請給出證明;若不垂直,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,兩個焦點分別為
,
,點
在橢圓
上,過點
的直線
與拋物線
交于
兩點,拋物線
在點
處的切線分別為
,且
與
交于點
.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 是否存在滿足的點
? 若存在,指出這樣的點
有幾個(不必求出點
的坐標(biāo)); 若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)拋物線的焦點為
,經(jīng)過點
的動直線
交拋物線
于點
,
且
.
(1)求拋物線的方程;
(2)若(
為坐標(biāo)原點),且點
在拋物線
上,求直線
傾斜角;
(3)若點是拋物線
的準(zhǔn)線上的一點,直線
的斜率分別為
.求證:
當(dāng)為定值時,
也為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為
,右頂點為
,設(shè)點
.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若是橢圓上的動點,求線段
中點
的軌跡方程;
(3)過原點的直線交橢圓于點
,求
面積的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓:
的左、右焦點分別為
,已知橢圓
上的任意一點
,滿足
,過
作垂直于橢圓長軸的弦長為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過的直線交橢圓于
兩點,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
直角坐標(biāo)平面上,為原點,
為動點,
,
. 過點
作
軸于
,過
作
軸于點
,
. 記點
的軌跡為曲線
,
點、
,過點
作直線
交曲線
于兩個不同的點
、
(點
在
與
之間).
(1)求曲線的方程;
(2)是否存在直線,使得
,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為
,焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為
(1)求橢圓C的方程
(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點,坐標(biāo)原點到直線的距離為,求
面積的最大值。
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