Question

已知曲線f（x）=ax+blnx-1在點（1，f（1））處的切線為直線y=0．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）設(shè)函數(shù)，其中m為常數(shù)．
（i）求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（ii）求證：當1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，總有成立．

Answer 1

（1）解：求導函數(shù)，可得f'（x）=a+
由已知得切線的斜率為0，從而f'（1）=0，所以a+b=0
又f（1）=a-1=0，所以a=1，b=-1．
（2）=，∴g′（x）=x-
（i）解：當m≤0時，∵x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當m＞0時，由g′（x）＞0，得x＞或x＜-（舍去）
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（，+∞）；
（ii）證明：當1＜m＜3，函數(shù)在（1，）上單調(diào)減，在（，e）上單調(diào)增
∴g（x）_min=g（）=--lnm
∴g（）≤g（x）＜max{g（1），g（e）}
設(shè)h（m）=g（）=--lnm，∴h′（m）=-1-lnm
∵1＜m＜3，∴l(xiāng)nm＞0，∴h′（x）＜0
∴h（x）在（1，3）上單調(diào)遞減
∴h（m）＞h（3）=--ln3
∴1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，g（x）＞--ln3
∵1＜m＜3，∴g（e）=-2m＜，g（1）=-＜
∴1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，g（x）＜
∴當1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，總有成立．
分析：（1）求導函數(shù)，利用切線的斜率為0，可得f'（1）=0，又f（1）=0，即可求實數(shù)a，b的值；
（2）（i）求導函數(shù)，當m≤0時，g′（x）＞0；當m＞0時，由g′（x）＞0，可得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（ii）當1＜m＜3，函數(shù)在（1，）上單調(diào)減，在（，e）上單調(diào)增，從而可得函數(shù)的最小值，構(gòu)建函數(shù)h（m）=g（）=--lnm，求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確求導，構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵．