Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（

π

4

x）在同一半周期內(nèi)的圖象過點O，P，Q，其中O為坐標(biāo)原點，P為函數(shù)f（x）的最高點，Q為函數(shù)f（x）的圖象與x軸的正半軸的交點．
（Ⅰ）求證：△OPQ為等腰直角三角形；
（Ⅱ）將△OPQ繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0＜α＜

π

4

），得到△OP′Q′，若點P′恰好落在曲線y=

2

x

（x＞0）上（如圖所示），試判斷點Q′是否也落在曲線y=

2

x

（x＞0），并說明理由．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由題意可得可得O（0，0）、P（2，2）、Q（4，0），再根據(jù)PO=PQ=2

2

，且PO²+PQ²=OQ²，可得△OPQ為等腰直角三角形．
（Ⅱ）由題意可得OP=2

2

，P′（2

2

cos（60°+α），2

2

sin（60°+α），2

2

sin（60°+α）=

2

2 2 cos(60°+α)

．化簡可得cos（30°+2α）=

1

2

，求得 α=15°，再根據(jù)Q′（

6

+

2

，

6

-

2

 ），可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）P為函數(shù)f（x）=2sin（

π

4

x）的最高點，Q為函數(shù)f（x）的圖象與x軸的正半軸的交點，O′
可得O（0，0）、P（2，2）、Q（4，0），∴PO=PQ=2

2

，且PO²+PQ²=OQ²，
∴△OPQ為等腰直角三角形．
（Ⅱ）將△OPQ繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0＜α＜

π

4

），得到△OP′Q′，
由題意可得OP=2

2

，P′（2

2

cos（60°+α），2

2

sin（60°+α），再根據(jù)點P′恰好落在曲線y=

2

x

（x＞0）上，
可得2

2

sin（60°+α）=

2

2 2 cos(60°+α)

．
化簡可得

3

cos2α-sin2α=1，即cos（30°+2α）=

1

2

，∴30°+2α=60°，∴α=15°，
∴cosα=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=

6 + 2

4

，
sinα=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=

6 - 2

4

．
由于點Q′（4cosα，4sinα），故點Q′（

6

+

2

，

6

-

2

 ），∵

2

6 + 2

=

6 - 2

2

≠

6

-

2

，
故點Q′是不在曲線y=

2

x

（x＞0）上．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，求點的坐標(biāo)，本題主要考查兩角和差的正弦公式、余弦公式，屬于中檔題．