Question

【題目】已知函數(shù).

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑵若存在兩個極值點，且是函數(shù)的極小值點，求證：.

Answer 1

【答案】⑴當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；⑵證明見解析.

【解析】

試題分析：⑴求導(dǎo)，在對導(dǎo)函數(shù)分析可得：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；⑵化簡

，由函數(shù)存在兩個極值點（）是方程的兩根

，，且，由

，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)工具可得

.

試題解析： 函數(shù)的定義域為，

⑴，

當，恒成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，令，得或（不合題意，舍去），

則當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.…………5分

⑵∵，∴，

∵函數(shù)存在兩個極值點，設(shè)兩個極值點為，

∴是方程的兩根，∴，，且，

∵函數(shù)開口向上，與軸交于兩點，是函數(shù)的極小值點，

∴，從而，

由，得，，，

設(shè)，

∵，∴在上遞增，

∴，∴.……………………………………12分