【題目】設(shè)點O為坐標(biāo)原點,橢圓的右頂點為A,上頂點為B,過點O且斜率為的直線與直線AB相交M,且.
(Ⅰ)求證:a=2b;
(Ⅱ)PQ是圓C:(x-2)2+(y-1)2=5的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過P,Q兩點,求橢圓E的方程.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).
【解析】試題分析:
(1)利用向量共線的充要條件計算可得a=2b;
(2)利用(1)中的結(jié)論聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系計算可得橢圓E的方程是.
試題解析:
(Ⅰ)∵A(a,0),B(0,b),,所以,
∴,解得a=2b,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=2b,∴橢圓E的方程為即x2+4y2=4b2(1)
依題意,圓心C(2,1)是線段PQ的中點,且.
由對稱性可知,PQ與x軸不垂直,設(shè)其直線方程為y=k(x-2)+1,
代入(1)得:
(1+4k2)x2-8k(2k-1)x+4(2k-1)2-4b2=0
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則,,
由得,解得.
從而x1x2=8-2b2.
于是
解得b2=4,a2=16,∴橢圓E的方程為.
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【題目】(本小題12分)甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn),在培訓(xùn)期間,他們參加的5項預(yù)賽成績記錄如下:
甲 | 82 | 82 | 79 | 95 | 87 |
乙 | 95 | 75 | 80 | 90 | 85 |
(1)從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個,求甲的成績比乙高的概率;
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽,從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
⑴討論函數(shù)的單調(diào)性;
⑵若存在兩個極值點,且是函數(shù)的極小值點,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發(fā)向同一個方向運動,其路程關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式分別為, , , ,有以下結(jié)論:
①當(dāng)時,甲走在最前面;
②當(dāng)時,乙走在最前面;
③當(dāng)時,丁走在最前面,當(dāng)時,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它們一直運動下去,最終走在最前面的是甲.
其中,正確結(jié)論的序號為 (把正確結(jié)論的序號都填上,多填或少填均不得分).
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【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況,交通部門隨機對50名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查,得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為:在30名男性駕駛員中,平均車速超過的有20人,不超過的有10人.在20名女性駕駛員中,平均車速超過的有5人,不超過的有15人.
(Ⅰ)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為平均車速超過的人與性別有關(guān);
平均車數(shù)超過 人數(shù) | 平均車速不超過 人數(shù) | 合計 | |
男性駕駛員人數(shù) | |||
女性駕駛員人數(shù) | |||
合計 |
(Ⅱ)以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體,現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨即抽取3輛,記這3輛車中駕駛員為女性且車速不超過的車輛數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求的分布列和數(shù)學(xué)期望
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.150 | 0.100 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】如圖,直三棱柱的底面為正三角形,、、分別是、、的中點.
⑴若,求證:平面;
⑵若為中點,,四棱錐的體積為,求三棱錐的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)當(dāng)a=2時,求(x)在x∈[1,e2]時的最值(參考數(shù)據(jù):e2≈7.4);
(Ⅱ)若,有f(x)+g(x)≤0恒成立,求實數(shù)a的值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等差數(shù)列{an}中,a1=1,S5=-15.
(1) 求數(shù)列{an}的通項公式;
(2) 若數(shù)列{an}的前k項和Sk=-48,求k的值.
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