Question

（12分）已知函數(shù)f(x)=x+ax+bx + 5,在曲線y=f(x)上的點P(1，f(1))處的切線與直線y=3x+2平行。

（1）若函數(shù)y=f(x)在x=-2時取得極值，求a、b的值；

（2）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-2，1)上單調(diào)遞增，求b的取值范圍。

Answer 1

解： （1）f′(x)=3x²+2ax+b,則f′(1)=3+2a+b=3即2a+b=0        ①

∵y=f(x)在x=-2時取得極值，故f′(-2)=0

∴-4a+b=-12                                                                             ②

∴a=2   b=-4

（2） f′(x)=3x²+2ax+b由2a+b=0

∴f′(x)=3x²-bx+b

依題意，f(x)在(-2，1)上單調(diào)遞增，故f′(x)在(-2，1)上恒有f′(x)0

即3x²-bx+b≥0在(-2，1)上恒成立

法一：①當≥1即b≥6時，f′_小(x)=f′(1)=3-b+b≥0

∴b≥6

②當-2<<1即-12<b<6時，f′_小(x)= ≥0

即0 ≤b <6

③≤-2即b≤-12時，f′_小(x)= f′_小(-2)=12+2b+b≥0，

∴b≥-4,此時b不存在

綜上可知，b的取值范圍是b≥0

法二：即b≥-      (x∈(-2,1))恒成立

又當x∈(-2，1)時，∴1-x>0

又 - 

≤-(6-6)=0

∴只須b≥0

∴b的取值范圍為b≥0