Question

11．已知函數(shù)f（x）=|e^x-e²x|，方程f²（x）+af（x）+a-1=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（1-e²，1）．

Answer 1

分析 由g（x）=e^x-e²x的導(dǎo)數(shù)為e^x-e²，求得單調(diào)區(qū)間和極值，畫(huà)出y=f（x）的圖象，求得方程的根，由題意可得y=f（x）與y=1-a有四個(gè)交點(diǎn)等價(jià)為0＜1-a＜e²，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：令g（x）=e^x-e²x，則g′（x）=）=e^x-e²，
∴當(dāng)x＞2時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x＜2時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x=2時(shí)，g′（x）=0，
∴當(dāng)x＞2時(shí)，g（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x＜2時(shí)，g（x）是減函數(shù)減．
當(dāng)x=2時(shí)g（x）取得極小值g（2）=-e²．
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖：
令t=f（x），∵t²+at+a-1=0，
△=a²-4（a-1）=（a-2）²≥0，
∴t=-1或t=1-a，即f（x）=-1或f（x）=1-a，
∵f（x）≥0，∴f（x）=-1無(wú)解，
∵方程f²（x）+af（x）+a-1=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴f（x）=1-a有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴0＜1-a＜e²，解得1-e²＜a＜1．
故答案為（1-e²，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間和極值的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．