Question

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，該橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)P（0，$\frac{5}{3}$）的直線l與橢圓交于M、N兩個(gè)不同的點(diǎn)，使$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$成立？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得直線AB的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，即bx+ay-ab=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．及a²=b²+c²聯(lián)立即可解得；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可得M（0，-1），N（0，1），直接驗(yàn)證即可；當(dāng)直線l的斜率不在時(shí)，設(shè)y=kx+$\frac{5}{3}$，與橢圓的方程聯(lián)立，可得△＞0，及其根與系數(shù)的關(guān)系．再利用$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$，即可判斷．

解答 解：（1）由題意可得直線AB的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，即bx+ay-ab=0，
∵原點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．a(chǎn)²-b²=c²，
解得a=2，b=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，M（0，-1），N（0，1），滿足$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$；
當(dāng)直線l的斜率不在時(shí)，設(shè)y=kx+$\frac{5}{3}$，代入橢圓方程，
化為（9+36k²）x²+120kx+64=0，
∵直線l與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△＞0，化為k²＞$\frac{4}{9}$．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{-40k}{3+12{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64}{9+36{k}^{2}}$．①
若$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$，則x₁=4x₂，②
聯(lián)立①②化簡(jiǎn)得4k²=1+4k²，k不存在．
綜上可得，存在過(guò)點(diǎn)P（0，$\frac{5}{3}$）的直線l：x=0與橢圓交于M、N兩個(gè)不同的點(diǎn)，使$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、向量共線等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．