Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²+2x+1．
（1）f（x）在（-∞，+∞）上有無反函數(shù)？
（2）若f（x）在[m，+∞）上有反函數(shù)，求m的范圍．
（3）f（x）在[1，+∞）上的反函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由y=（x+1）²，解得x=-1$±\sqrt{y}$，即可判斷出是否有反函數(shù)；
（2）f（x）在[m，+∞）上有反函數(shù)，由（1）可得：m≥-1．
（3）由x∈[1，+∞），即y=（x+1）²≥4，解得x=-1$+\sqrt{y}$，把x與y互換可得：y=-1+$\sqrt{x}$（x≥4）．即可得出．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=y=x²+2x+1，即y=（x+1）²，解得x=-1$±\sqrt{y}$，因此f（x）在（-∞，+∞）上無反函數(shù)．
（2）f（x）在[m，+∞）上有反函數(shù)，由（1）可得：m≥-1，
∴m的范圍是m≥-1．
（3）∵x∈[1，+∞），即y=（x+1）²≥4，解得x=-1$+\sqrt{y}$，把x與y互換可得：y=-1+$\sqrt{x}$（x≥4）．
∴f（x）在[1，+∞）上的反函數(shù)是y=-1+$\sqrt{x}$（x≥4）．

點評 本題考查了一元二次方程的解法、反函數(shù)的求法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．