Question

[已知函數(shù)f（x）=log_a

1-mx

x-1

是奇函數(shù)（a＜0且a≠1）
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性并加以證明；
（3）當(dāng)a＞1，x∈(1，

3

)時(shí)，f（x）的值域是（1，+∞），求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）是奇函數(shù)知f（-x）=-f（x）在其定義域內(nèi)恒成立，從而解出m并檢驗(yàn)；
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)；利用定義證明；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)=loga

x+1

x-1

在(1，

3

)上為減函數(shù)，要使f（x）在(1，

3

)上值域是（1，+∞），即loga

x+1

x-1

＞1，可得

x+1

x-1

＞a．從而構(gòu)造函數(shù)求解．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）在其定義域內(nèi)恒成立，
即loga

1+mx

-x-1

=-loga

1-mx

x-1

，
∴1-m²x²=1-x²，
∴m=-1或m=1（舍去），
∴m=-1．
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，證明如下，
由（1）得f(x)=loga

x+1

x-1

(a＞0且a≠1)，
設(shè)t(x)=

x+1

x-1

，任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂
∴t(x1)-t(x2)=

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵x₁＞1，x₂＞1，x₁＜x₂
∴t（x₁）＞t（x₂），
即

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

；
所以當(dāng)a＞1時(shí)，loga

x1+1

x1-1

＞loga

x2+1

x2-1

即f(x1)＞f(x2)
函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)；
所以當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga

x1+1

x1-1

＜loga

x2+1

x2-1

即f(x1)＜f(x2)
函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)=loga

x+1

x-1

在(1，

3

)上為減函數(shù)，
要使f（x）在(1，

3

)上值域是（1，+∞），即loga

x+1

x-1

＞1，可得

x+1

x-1

＞a．
令g(x)=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

在(1，

3

)上是減函數(shù)．
所以g(x)∈(1+

2

3 -1

，+∞)，
所以a=1+

2

3 -1

=2+

3

．所以a=2+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．