Question

已知函數(shù)f（x）=asinxcosx+4cos²x，x∈R，f(

π

6

)=6．
（1）求常數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值．
（3）此函數(shù)如何由y=sinx變換得到？

Answer 1

分析：（1）直接利用f(

π

6

)=6，求出常數(shù)a的值；
（2）利用（1）通過二倍角與兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，通過周期公式求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值．
（3）通過左加右減，伸縮變換，直接由y=sinx變換得到f（x）=4sin（2x+

π

6

）+2的圖象．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=asinxcosx+4cos²x，x∈R，f(

π

6

)=6．
所以6=asin

π

6

cos

π

6

+4cos²

π

6

，6=

3

4

a+4×(

3

2

)2，
解得a=4

3

；    
（2）由（1）可知，f（x）=4

3

sinxcosx+4cos²x=2

3

sin2x+2cos2x+2=4sin（2x+

π

6

）+2
所以函數(shù)的周期為：T=

2π

2

=π，
因?yàn)閤∈R，所以函數(shù)的最大值為：M=6．
（3）函數(shù)y=sinx向左平移

π

6

，得到函數(shù)y=sin（x+

π

6

），
縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="c6mwaim" class="MathJye">

1

2

，得到函數(shù)y=sin（2x+

π

6

）的圖象，
橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長原來的4倍，得到函數(shù)y=4sin（2x+

π

6

）的圖象，
然后函數(shù)的圖象向上平移2單位，得到y(tǒng)=4sin（2x+

π

6

）+2的圖象．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角公式與兩角和的三角函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象的變換，考查計算能力．