Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足（2a+c）cosB+bcosC=0．
（1）求角B的值；
（2）設(shè)

m

=（sinA，cosA），

n

=（1，

3

），當(dāng)

m

•

n

取到最大值時(shí)，求角A、角C的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinA不為0求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（2）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出

m

•

n

，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的值域確定出

m

•

n

的最大值，以及此時(shí)A與C的度數(shù)即可．

解答： 解：（1）由（2a+c）cosB+bcosC=0，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：
（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB+sin（B+C）=0，
整理得：2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴cosB=-

1

2

，
則B=

2π

3

；
（2）∵B=

2π

3

，∴A+C=

π

3

，
∵

m

=（sinA，cosA），

n

=（1，

3

），
∴

m

•

n

=sinA+

3

cosA=2sin（A+

π

3

），
當(dāng)A+

π

3

=

π

2

，即A=

π

6

時(shí)，

m

•

n

取得最大值，
此時(shí)A=

π

6

，C=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．